Задачи и решения (11 класс)

1. Каков бы был период обращения Юпитера относительно Солнца, если бы масса Солнца была в 10 раз больше, чем на самом деле? Считать, что радиус орбиты Юпитера не меняется и равен $ 5.2 $ а.е.

Решение: Для решения этой задачи следует воспользоваться так называемым "обобщенным" III законом Кеплера:

$\displaystyle<br />
\frac{a^3}{P^2} = \frac{G \Msol}{4 \pi^2},<br />
 $

где $ P $ - период обращения планеты, $ a $ - радиус (а точнее, большая полуось) ее орбиты, $ \Msol $ - масса Солнца, $ G $ - гравитационная постоянная.

Отсюда получаем

$\displaystyle<br />
P = \sqrt{\frac{4 \pi^2 a^3}{G \Msol}}<br />
 $

откуда следует, что при неизменном радиусе орбиты $ P $ обратно пропорционален $ \sqrt{\Msol} $. Таким образом искомый период был бы в $ \sqrt{10} $ раз меньше, чем на самом деле.

Настоящий период обращения Юпитера можно определить из "простого" III закона Кеплера, сравнив орбиту Юпитера с орбитой Земли:

$\displaystyle<br />
\frac{P^2}{P_\oplus^2} = \frac{a^3}{a_\oplus^3},<br />
 $

где $ P_\oplus = 1 $ год - период обращения Земли, а $ a_\oplus = 1 $ а.е. - радиус ее орбиты. Отсюда $ P = \sqrt{a^3} = \sqrt{5.2^3} \approx 12 $ лет. Получаем, что искомый период был бы равен $ \frac{12}{\sqrt{10}} \approx 4 $ года.

2. Могут ли какие-либо галилеевы спутники Юпитера при наблюдении с Юпитера находиться в "полнолунии"? Радиусы орбит спутников (в радиусах Юпитера) составляют: Ио - $ 5.9 $, Европа - $ 9.4 $, Ганимед - $ 15 $, Каллисто - $ 26 $.

Решение: Вспомним, что наклон орбит галилеевых спутников Юпитера к плоскости эклиптики практически нулевой. Тогда вопрос состоит в том, попадут ли спутники при приближении к фазе "полнолуния" в тень Юпитера или нет. Очевидно, что шансы не попасть в тень выше всего у наиболее далекого спутника - Каллисто. Угловой диаметр Юпитера при наблюдении с Каллисто можно легко оценить, он составит $ 2/26 $ радиана, т.е. примерно $ 4^\circ $. Так как угловой размер диска Солнца при наблюдении с орбиты Юпитера намного меньше - около $ 6' $ (можно вспомнить, что угловой размер диска Солнца при наблюдении с Земли примерно равен $ 30' $, а Юпитер находится в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля), то это означает, что даже Каллисто (а, следовательно, и все остальные галилеевы спутники тоже) окажутся глубоко в тени Юпитера.

3. Почему в веществе самых старых звезд Галактики очень мало тяжелых элементов, а в веществе самых молодых, наоборот, их содержание относительно велико?

Решение: Самые старые звезды образовались из бедного тяжелыми элементами протогалактического газового облака. Массивные звезды, быстро эволюционируя, взрывались и обогащали межзвездную среду образовавшимися в них тяжелыми элементами. Следующие поколения звезд образовывались из вещества с большим содержанием тяжелых элементов.

4. Может ли искусственный спутник иметь такую орбиту, чтобы его трасса проходила бы только над следующими частями света:
a) над Европой?
b) над Африкой?
c) и над Европой, и над Африкой?

Решение: Проще всего ответить на вопрос b) - так как через Африку проходит экватор, то геостационарный спутник будет искомым.

Подходящими для двух остальных вопросов спутниками могут быть только суточные спутники (с периодом обращения, равным суткам), в противном случае орбита спутника будет перемещаться по долготе из-за вращения Земли, и такой спутник рано или поздно пролетит, например, над Америкой. Орбита суточного спутника с некоторым наклоном, меньшим $ 90^\circ $, будет представлять собой "восьмерку" с центром на экваторе, крайние точки которой будут иметь широту, равную наклону орбиты. Можно подобрать наклон таким образом, чтобы спутник пролетал над Европой (при этом наклон должен быть больше $ 38^\circ $ - это широта самой южной точки Европы) и не пролетал над Антарктидой (наклон должен быть меньше $ 63^\circ $ - широты самой северной точки Антарктиды). Реально нижняя граница наклона больше - при малом наклоне одна из петель "восьмерки" может зацепить Азию.

Однако при этом не удастся сделать так, чтобы спутник не пролетал над Африкой, поэтому ответ на вопрос c) - может, это должен быть суточный спутник с наклоном около $ 60^\circ $; ответ на вопрос a) - не может.

Примечание: естественно, в решении не требовалось указывать предельные значения наклонов орбит спутников.

5. Десять солнцеподобных звезд свалили в кучу и сделали одну белую звезду главной последовательности. Как изменилась светимость такой звезды, если ее средняя плотность в три раза меньше солнечной?

Решение: Светимость звезды ($ L=4\pi R^2 \sigma T^4 $) определяется температурой и площадью поверхности звезды. Звезда белая, т.е. ее температура около $ 10^4 $ К. Она в $ 1.7 $ раза больше температуры Солнца ($ 6 \cdot 10^3 $ К), и за счет изменения температуры светимость увеличилась в $ (1.7)^4 \approx 8 $ раз.

Так как масса звезды стала в 10 раз больше, а плотность в 3 раза меньше, то объем звезды увеличился в 30 раз. Поскольку объем пропорционален кубу радиуса, то радиус новой звезды в $ \sqrt[3]{30} $ раз больше старого радиуса, а площадь поверхности, следовательно, в $ (30)^{2/3} \approx 10 $ раз больше прежней. Таким образом, суммарная светимость новой звезды возросла в $ \approx 80 $ раз.

2 задача

"Очевидно, что шансы не попасть в тень выше всего у наиболее далекого спутника - Каллисто."
Дайте пожалуйста пояснения этого факта...

Тень планеты

Тень планеты представляет собой конус, основание которого - сечение планеты, центр которого совпадает с центром планеты, и перпендикулярное плоскости орбиты планеты. Чем дальше спутник от планеты, тем в более узкую область тени планеты он попадает. Если спутник очень далеко, то у него есть шанс совсем не попасть в тень. Так что проверку в данной задаче целесоообразно начинать с самого далекого спутника.   Совет: посмотрите в решениях 5-6 классов рисунок с лунным затмением, обратите внимание на форму тени и представьте спутник на разных расстояниях от планеты.