Задачи и решения (9 класс)

  1. Оцените, во сколько раз отличаются скорости низколетящих спутников Земли и Юпитера, если известно, что радиус Юпитера примерно в 10 раз меньше радиуса Солнца.
    Решение: Так как спутники низколетящие, то это означает, что орбиты у спутников круговые и радиус орбиты примерно совпадает с радиусом соответствующей планеты. Если обозначить массу планеты $ M $, а радиус $ R $, то ускорение свободного падения для спутника можно вычислить как $\displaystyle g = \frac{GM}{R^2}, $ где $ G $ - гравитационная постоянная. Известно, что для кругового движения со скоростью $ v $ $\displaystyle g = \frac{v^2}{R}, $ отсюда получаем, что $\displaystyle v = \sqrt{\frac{GM}{R}}. $ Преобразуем это выражение. $\displaystyle v = \sqrt{\frac{GM \cdot \frac{4}{3} \pi R^2}{R \cdot \frac{4}{3} \pi R^2}}. = \sqrt{\frac{4}{3} \pi R^2 G \rho}, $ где $ \rho $ - средняя плотность планеты. Плотности Земли и Юпитера известны - это $ 5.5 $ г/см$ {}^3 $ и $ 1.3 $ г/см$ {}^3 $ соответственно (для оценки можно взять 5 и 1), радиус Юпитера можно оценить, зная радиус Солнца (если он неизвестен, то легко "восстанавливается" либо из данных о плотности и массе Солнца (последнюю можно получить, зная радиус орбиты Земли и продолжительность года), либо из данных об угловом размере диска Солнца и расстоянии до него). В итоге оказывается, что радиус Юпитера примерно в 10 раз больше радиуса Земли, и, следовательно, скорость низколетящего спутника Юпитера будет в $ \sqrt{10^2 \cdot 1.3/5.5} \approx 5 $ раз больше, чем скорость такого же спутника Земли.
  2. 2 марта этого года астероид 2009 DD45 пролетел между Землей и Луной. Предположим, что астероид в некоторый момент оказался точно на прямой, соединяющей наблюдателя на Земле и центр Луны, двигался со скоростью 20 км/с под углом $ 45^\circ $ к этой прямой и находился на расстоянии 64 тыс.км от наблюдателя. Найдите время, за которое астероид для наблюдателя пересек диск Луны. Радиус Луны в 4 раза меньше радиуса Земли, расстояние от Земли до Луны равно примерно 60 радиусам Земли.
    Решение: Радиус Земли примерно равен $ 6\,400 $ км, поэтому астероид пролетел на расстоянии, равном 10 радиусам Земли. Немного упростим задачу - будем считать, что астероид пересекал прямую, соединяющую наблюдателя и Луну, перпендикулярно. Тогда путь $ x $, пройденный астероидом на фоне диска Луны, относится к расстоянию до него так же, как диаметр Луны к расстоянию до нее. Отсюда (если выразить все величины в радиусах Земли) $\displaystyle \frac{x}{10} = \frac{1/2}{60}, $ и пройденный путь $ x=1/12 $ радиуса Земли. Выразив его в километрах, получим, $ 6400/12 \approx 530 $ км. Теперь вспомним, что астероид двигался под углом $ 45^\circ $ к прямой. Так как расстояние между Землей и Луной намного больше 530 км, то можно считать, что за счет этого путь астероида на фоне диска Луны увеличился в $ \sqrt{2} \approx 1.4 $ раза. В итоге получаем путь, равный $ 530 \cdot 1.4 \approx 740 $ км. Так как астероид двигался со скоростью 20 км/с, время пересечения окажется равным $ 740/20 =37 \approx 40 $ с.
  3. 11 февраля 2009 года на высоте 800~км над поверхностью Земли столкнулись два спутника: "Космос-2251" и "Iridium 33". В момент столкновения угол между траекториями спутников составлял $ 60^\circ $. Найдите диапазон возможных значений относительной скорости спутников при столкновении.
    Решение: Спутники столкнулись на сравнительно небольшой высоте. С достаточной точностью можно считать, что в момент столкновения оба спутника находились в перигее (минимально возможная высота полета спутников составляет примерно 300 км, и относительная разница между расстоянием до центра Земли 7200 км и 6700 км невелика). Первая и вторая космические скорости на такой высоте также мало отличаются от <<наземных>> (они пропорциональны $ R^{-1/2} $, поэтому отличие не превосходит 6%). Следовательно, минимально возможная скорость каждого спутника около 8 км/с, а максимально возможная - около 11 км/с. Если бы скорости спутников были одинаковыми и равнялись $ v $, то, так как угол между траекториями составлял $ 60^\circ $, относительная скорость сближения спутников также равнялась $ v $. Отсюда очевидно, что возможная относительная скорость спутников заключена в пределах от 8 км/с до 11 км/с.
  4. С помощью антенны дальней космической связи, состоящей из нескольких одинаковых рефлекторов (радиотелескопов-"тарелок") выполнялась радиолокация некоторого астероида, движущегося по круговой орбите. Во время противостояния ответный сигнал был принят на пределе чувствительности с использованием двух рефлекторов, а в квадратуре для приема сигнала (также на пределе чувствительности) пришлось задействовать восемь рефлекторов. Мощность излучения локатора в обоих случаях была одинаковой. Найдите радиус орбиты астероида. Какое время прошло между посылкой сигнала и приемом ответного во время сеанса локации в противостоянии?
    Решение: Посланный локатором сигнал распространяется в некотором телесном угле, поэтому его интенсивность падает обратно пропорционально квадрату расстояния. Интенсивность излучения, отраженного от астероида, при распространении назад к локатору также уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, поэтому интенсивность принятого локатором сигнала $ I $ зависит от расстояния до объекта $ r $ как $ I \propto r^{-4} $. Из условия ясно, что интенсивность вернувшегося сигнала в противостоянии была в 4 раза больше, чем в квадратуре, следовательно, расстояния до астероида в противостоянии $ r_\text{п} $ и в квадратуре $ r_\text{к} $ связаны как $ r_\text{к} = \sqrt[4]{4} r_\text{п} = \sqrt{2} r_\text{п} $ Вспомнив определения противостояния (Солнце, Земля и астероид находятся на одной прямой) и квадратуры (направления Солнце-Земля и Земля-астероид образуют прямой угол), можно заметить, что расстояние в противостоянии, выраженное в астрономических единицах, равно $ r_\text{п} = R - 1 $, где $ R $ - радиус орбиты астероида (также в а.е.), а расстояние в квадратуре $ r_\text{к} = \sqrt{R^2 - 1} $ (по теореме Пифагора). Отсюда получаем уравнение $\displaystyle \sqrt{2} \cdot  (R-1) =\sqrt{R^2 - 1}. $ Оно приводится к квадратному $ R^2 - 4R + 3 =0 $, корни которого равны $ 3 $ и $ 1 $. Корень, равный единице, нас не устраивает по смыслу задачи, поэтому ответ один - радиус орбиты астероида равен 3 а.е.
  5. Во сколько раз нужно изменить большие полуоси орбит Земли и Луны, чтобы в нашем календаре было 12 месяцев ровно по 30 дней? Настоящий период обращения Луны вокруг Земли - $ 27.3 $ суток.
    Решение: Поскольку продолжительность суток изменять нельзя, то из условия следует, что продолжительность года должна равняться ровно $ 30 \cdot 12 = 360 $ суткам (сейчас она составляет $ 365.3 $ суток). Воспользовавшись III законом Кеплера ($ a \propto P^{2/3} $, где $ a $ - большая полуось, $ P $ - период), получаем, что большую полуось орбиты Земли надо уменьшить в $ (365.3/360)^{2/3} = (1 + 5.3/360)^{2/3} \approx 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{5.3}{360} \approx 1.01 $ раза. Для решения второй части задачи следует вспомнить, что продолжительность периода повторения фаз Луны - синодический лунный месяц - это не совсем то же самое, что период обращения Луны вокруг Земли. Синодический месяц $ S $ связан с периодом обращения $ P $ как $\displaystyle \frac{1}{S} = \frac{1}{P} - \frac{1}{360}, $ (тут 360 - новая продолжительность года в сутках), отюда желаемый нами период обращения $\displaystyle P = \frac{1}{1/S + 1/360} = \frac{1}{1/30 + 1/360} = \frac{360}{13} \approx 27.7. $ Далее действуем так же, как при решении первой части задачи. В итоге получаем, что большую полуось орбиты Луны надо увеличить в $ (27.7/27.3)^{2/3} = (1 + 0.4/27.3)^{2/3} \approx 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0.4}{27.3} \approx 1.01 $ раза.