Условия и решения задач районного тура (11 класс) XV Санкт-Петербургской олимпиады по астрономии

  1. Условие: Ригель, Сириус, Альдебаран, Денеб, Вега. Найдите лишний объект в этом списке и обоснуйте свой выбор.

    Решение: Лишний Альдебаран - красный гигант (спектральный класс K5). Все остальные звезды - белого цвета (спектральные классы от B8 до A2.) 

  2. Условие: Каких размеров должна быть планета, чтобы, находясь на орбите Плутона, получать от Солнца в среднем столько же энергии, сколько Меркурий?

    Решение: Количество энергии, получаемое планетой от Солнца, обратно пропорционально квадрату расстояния между Солнцем и планетой и прямо пропорционально площади планеты. Плутон находится примерно в 100 раз дальше чем Меркурий, следовательно, площадь планеты должна быть в $ 100^2 = 10^4 $ раз больше площади Меркурия, а радиус больше в 100 раз. Радиус Меркурия примерно равен $ 2.5 \cdot 10^3 $ км, так что радиус гипотетической планеты должен быть равен примерно $ 2.5 \cdot 10^5 $ км, т.е. 250 тыс. км.

  3. Условие: Как известно, прецессия (или предварение равноденствия) - это медленное (около $ 50'' $ в год) перемещение точек весеннего и осеннего равноденствий. А по какому кругу небесной сферы происходит это перемещение: по небесному экватору или по эклиптике?

    Решение: Из слов "предварение равноденствия" ясно, что вследствие явления прецессии равноденствие наступает раньше, т.е. Солнце пересекает точку, например, весеннего равноденствия раньше, чем завершит полный годичный круг по небесной сфере. Из этого следует, что точки равноденствий перемещаются по тому же большому кругу, что и Солнце, т.е. по эклиптике, причем навстречу годичному движению Солнца.

  4. Условие: Оцените, сколько звезд таких как Канопус ($ \alpha $ Киля - вторая по яркости звезда ночного неба, звездная величина - $ -1^m $) нужно собрать вместе, чтобы они светили так же ярко, как полная Луна (звездная величина $ m=-12.7^m $)?

    Решение: Чтобы решить эту задачу, необходимо знать, что звездные величины нельзя складывать. Складываются только освещенности, создаваемые светилами на Земле. Поэтому, чтобы сосчитать количество звезд, необходимо от звездных величин перейти к освещенностям. Связь между звездной величиной $ m $ и освещенностью $ E $ выражается формулами: $ m = -2.5 \lg(E) + \text{const} $ или $ E = 10^{0.4(\text{const} - m)} $. Так как по условию некоторое количество "Канопусов" должны светить как полная Луна, должно выполняться соотношение $ E_{\leftmoon} = N \cdot E_{\text{Can}} $, где значок $ \leftmoon $ относится к Луне, $ \text{Can} $ - к Канопусу, а $ N $ - искомое число звезд. Тогда $\displaystyle N = \frac{E_{\leftmoon}}{E_{\text{Can}}}=\frac{10^{0.4(\text{const} - m_{\leftmoon})}}{10^{0.4(\text{const} - m_{\text{Can}})}} = 10^{0.4(m_{\text{Can}} - m_{\leftmoon})} = 10^{0.4(-1 - (-12.7))}  \approx 10^{4.7} \approx 5 \cdot 10^{4}. $ Так что требуется собрать вместе $ 5 \cdot 10^{4} $ звезд минус первой величины, чтобы они светили как полная Луна. 

  5. Условие: За какое время можно упасть на Солнце с орбиты Земли, если падать с нулевой начальной скоростью относительно Солнца (масса Солнца - $ 2 \cdot 10^{33} $ г, радиус Солнца - $ 7 \cdot 10^5 $ км)?

    Решение: Время падения на Солнце (или на любой другой объект в подобных условиях) легче всего получить, если считать, что падение происходит по так называемому "вырожденному" эллипсу - эллипсу с нулевой малой полуосью (т.е. просто отрезку прямой). Тогда расстояние от начальной точки падения до Солнца будет равно большой оси этого эллипса, а время падения - половине периода обращения по такому эллипсу.

    Для вычисления периода нужно воспользоваться III законом Кеплера: $ P^2 = a^3 $, где $ a $ - большая полуось эллипса в астрономических единицах, а $ P $ - период обращения в годах. В данном случае $ a = 0.5 $ а.е., следовательно, период $ P = a^{3/2} = 0.5^{3/2} \approx 0.35 $ года, около 130 дней, т.е. время падения (равное половине периода) составит около 2 месяцев. Учитывать то, что Солнце - не материальная точка, очевидно бессмысленно, поскольку радиус Солнца примерно в 200 раз меньше расстояния от Земли до Солнца.


    Решения также можно скачать в виде pdf-файла:

ВложениеРазмер
Условия и решения задач районного тура (11 класс)260.87 КБ
Аватар пользователя DJDAN

Мило)) Нет слов,

Мило)) Нет слов, очень мило) Особенно первая задача. Почитав в интернете узнал о них много нового... Как минимум одна из них двойная и все такое прочее..)))
З.Ы. Спасибо! Оперативно)

Он не знал, что это невозможно. По-этому просто брал и делал.

Аватар пользователя П.А.Тараканов

Двойная

Она там не одна, так что это не решение. :) Сириус и Альдебаран - двойные, Вега и Денеб - одиночные, Ригель - четверная.

Аватар пользователя DJDAN

Да, уже

Да, уже убедился в этом... Тогда глупый вопрос: а как было отвечать на эту задачу?.. Кажется никто (почти) в школе не проходит спектральное деление, а уж тем более не выучивает наизусть (у нас ведь не было ни справочников, ничего) все спектральные классы всех звезд?.. Зато у Сириуса у единственного видимая звездная величина отрицательная, с этим мы чаще сталкиваемся... Хоть это всего лишь и характеристика, которая есть у всех, и показывает только, что Сириус больше всех виден))
P.S. Зато после олимпиады интересующиеся люди сравнили эти звезды и узнали про них больше.. Астрономию в массы! =)))

Он не знал, что это невозможно. По-этому просто брал и делал.

Спектральные классы

Указывать спектральные классы вовсе не было нужно. (В данном решении они приведены лишь для сведения.) Нужно было лишь указать, что Альдебаран - единственная красная звезда среди белых.

Аватар пользователя БоЦман

1-я задача

А другой вариант быть может? Почему бы не быть верным первому варианту - Ригель!
Ригель - это единственная из всех звезд - Бета-звезда своего созвездия!!!
Остальные все Альфа-звезды своих созвездий!!!

Аватар пользователя П.А.Тараканов

Может

Да, это действительно вариант решения. Насколько я помню, его планировалось засчитывать, хотя с "физическим смыслом" у него довольно плохо.

Аватар пользователя БоЦман

Отлично :)

О! Отлично!:) там ведь в задании ничего не было сказано, по какому признаку выбирать.

Аватар пользователя DJDAN

Дима, все равно

БоЦман, все равно они все друг от друга отличаются =) и каждое лишнее)) но насчет B-звезды - и вправду)

Он не знал, что это невозможно. По-этому просто брал и делал.

Астрономию в массы!

Абсолютно верно! Для этого это все (олимпиада, сайт и пр.) и существует!

Аватар пользователя П.А.Тараканов

А как отвечать?

Спектральные классы - это излишество (оно дано в решении, но от участников не требовалось). Вполне достаточно было указать цвет, а он попросту виден глазами.

Правда, все 1-е задачи во всех параллелях действительно были ориентированы на проверку знания некоторых фактов, и участнику, который ранее активно интересовался астрономией, они дают преимущество.

Ну а насчет отрицательной звездной величины... это все-таки не качественное отличие, а лишь количественное. К тому же у той же Веги звездная величина практически равна 0.