<< 4.1 Закон Вокулера | Оглавление | 4.3 Другие законы >>


4.2 Формула Серсика

Формулу Серсика [87], которая является обобщением закона Вокулера, часто записывают в следующем виде [95]:

\begin{displaymath} I(r)=I_0\,e^{-\nu_{n}\alpha^{1/n}}, \end{displaymath} (24)

где $I_0$ -- центральная поверхностная яркость, $\alpha=r/r_e$, $n$ -- положительное действительное число и $\nu_n$ -- константа, выбираемая так, чтобы в пределах $r_e$ излучалась половина полной светимости. В более похожем на закон Вокулера виде (формула (11)) ее можно записать так:
\begin{displaymath} \frac{I(r)}{I_e}={\rm exp}\left[-\nu_{n}\left(\left[\frac{r}{r_e}\right]^{1/n}-1\right)\right], \end{displaymath} (25)

где $I_e=I_0\,e^{-\nu_n}$. При $n=4$ $\nu_4$=7.66925 и формула Серсика переходит в формулу Вокулера.

Распределение яркости, соответствующее формулам (24-25), можно представить так:

\begin{displaymath} \mu(r)=\mu_0+\frac{2.5\nu_n}{{\rm ln}\,10}\,\left(\frac{r}{r_e}\right)^{1/n}. \end{displaymath} (26)

При $n=4$ формула (26) превращается в формулу (12). Из (26) следует, что эффективная поверхностная яркость ( $\mu_e=\mu(r_e)$) для этой модели записывается как $\mu_e = \mu_0 + {2.5\nu_n}/{{\rm ln}\,10}$.

Светимость, излучаемая в пределах расстояния $r$ от центра галактики, равна

\begin{displaymath} L(\leq r)=\frac{2 \pi n}{\nu_n^{2n}}\,\gamma(2n,\nu_n \alpha^{1/n})\,I_0 r_e^2, \end{displaymath} (27)

где $\gamma(\eta,x)=\int_{0}^{x}e^{-t}t^{\eta-1}{\rm d}t$ -- неполная гамма-функция. Полная светимость:
\begin{displaymath} L_T=\frac{2 \pi n}{\nu_n^{2n}}\Gamma(2n)\,I_0 r_e^2, \end{displaymath} (28)

где $\Gamma(\eta)=\gamma(\eta,\infty)$ -- гамма-функция. Кривая относительной светимости:
\begin{displaymath} k(\alpha)=L(\leq \alpha)/L_{T}=\frac{\gamma(2n,\nu_n \alpha^{1/n})} {\Gamma(2n)}. \end{displaymath} (29)

Как несложно убедиться, при $n=4$ формулы (9) и (28) совпадают. (Единственное отличие состоит в том, что формула (9) записана для галактики с видимой эллиптичностью $\epsilon$, а (28) -- для объекта с круглыми изофотами. В случае, если изофоты галактики могут быть аппроксимированы эллипсами, уравнения (27) и (28) должны быть домножены на множитель (1-$\epsilon$).)

Из определения эффективного радиуса $r_e$ следует, что константа $\nu_n$ может быть найдена из уравнения $\gamma(2n,\nu_n)=\frac{1}{2}\Gamma(2n)$. Для $n=1-10$ точные значения $\nu_n$ приведены в таблице 5. В литературе опубликовано несколько интерполяционных зависимостей $\nu_n$ от $n$. В работе [95] показано, что

\begin{displaymath} \nu_n=2n-\frac{1}{3}+\frac{4}{405n}+\frac{46}{25515n^2}+{\rm O}(n^{-3}) \end{displaymath} (30)

с относительной погрешностью $\leq 10^{-6}$. Формулы других авторов, как правило, сводятся к первым двум членам разложения (30).




Таблица 5: Точные значения коэффициента $\nu_n$ согласно [95]
$n$ $\nu_n$
1 1.67834699
2 3.67206075
3 5.67016119
4 7.66924944
5 9.66871461
6 11.6683632
7 13.6681146
8 15.6679295
9 17.6677864
10 19.6676724

Яркие эллиптические галактики хорошо описываются законом Серсика при $n\sim4$, карликовые эллиптические галактики и диски спиральных галактик -- при $n\sim1$, а балджи и эллиптические галактики промежуточных светимостей могут быть представлены формулой (24) при $1 \leq n \leq 4$. Примеры профилей яркости при разных значениях $n$ показаны на рис. 14. На рисунке видно, что с ростом $n$ профили становятся более протяженными и пологими.

рис.  14: Распределения поверхностной яркости для закона $r^{1/n}$ при $n=1-10$. Все модели имеют одинаковое значение $r_e$, эффективная поверхностная яркость изменяется как $\mu_e=22.0-0.25n$. Самая жирная кривая соответствует модели с $n=1$, самая тонкая -- $n=10$.
\begin{figure}\centerline{\psfig{file=sersic.ps,angle=-90,width=11.0cm}}\end{figure}

Динамические свойства закона $r^{1/n}$ обсуждаются в работах [96,97,95,98].


<< 4.1 Закон Вокулера | Оглавление | 4.3 Другие законы >>